Números Naturales y Enteros

Los conjuntos de los números naturales y enteros son los más próximos a la realidad humana inmediata, los que se usan en las operaciones sencillas de suma, resta y multiplicación. En esencia, los números naturales se emplean para contar los objetos de un conjunto, mientras que los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos) resultan intuitivamente de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales.

Concepto de número natural

El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4 representa a un conjunto formado por cuatro elementos.
El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4, ...}. En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiere incluir este elemento en el conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este conjunto puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él pueden definirse operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como relaciones de orden (mayor que, menor que).

Números enteros

De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N Ì Z.
En sentido estricto, un número entero se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares de la correspondencia N x N, de manera que a cada par de elementos (n₁, n₂) le hace corresponder un número entero z definido como z = n₁ - n₂. Por ejemplo, los pares (1,3), (2,4), (14,16), (20,22), etc., son equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia representada por el número entero -2.

El termómetro común permite efectuar lecturas en el conjunto de los números enteros, ya que expresa valores de temperatura positivos o negativos, sin considerar posibles cifras decimales.

Representación de los números enteros

El conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen al conjunto Z.
En esta distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es mayor o igual que m (n ³ m) si n - m es un número entero positivo o cero. En virtud de ello, el de los números enteros es un conjunto ordenado.

Representación gráfica del conjunto Z.

Operaciones con números enteros

En el conjunto de los números enteros se definen habitualmente dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto. Dados dos números enteros a 5 (a₁, a₂) y b 5 (b₁, b₂), la suma se define como:

Por ejemplo, la suma de 4 y (21) puede escribirse como: (4) + (-1) = (5, 1) + (3, 4) = (8, 5) = 3. Por su parte, el producto se obtiene como:

Así, el producto de 4 por (-1) se calcularía como: (4) × (-1) = (5, 1) × (3, 4) = =(5 × 3 + 1 × 4, 5 × 4 + 1 × 3) = (19, 23) = 24.

Múltiplos y divisores

En el conjunto de los números enteros, se dice que un número n es divisor de otro m, y se escribe n | m, si existe un entero q tal que n × q = m. También se dice entonces que n divide a m, o que m es múltiplo de n o es divisible por n. Por ejemplo, 4 es divisor de (-12), ya que 4 × (-3) = (-12) y -3 es un número entero.
Según las reglas de la divisibilidad, cabe distinguir dos clases genéricas de números enteros:

• Números primos: son aquellos distintos de la unidad que sólo admiten como divisores a él mismo, a su opuesto y a la unidad.
• Números compuestos: son todos los restantes.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Dados dos o más números enteros, el máximo común divisor (m. c. d.) de todos ellos es el mayor de sus divisores comunes. Por su parte, el mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números enteros es el menor de sus múltiplos comunes.
Para calcular estos dos valores se han de descomponer en sus factores primos los números de partida, es decir, en un producto de números enteros que sean números primos.
Entonces, el m. c. d. se calcula como el producto de todos los factores primos comunes de los números elevados al menor exponente; el m. c. m. se obtiene como el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.