Poliedros y figuras en el espacio

El cubo, los volúmenes prismáticos, el tetraedro y las pirámides han sido admirados desde antiguo por la perfección de su geometría y por su atractivo estético. Todos ellos son formas singulares de una familia general de formas en el espacio llamadas poliedros.

Elementos de los poliedros

Los poliedros son figuras geométricas cerradas en el espacio delimitadas por cuatro o más polígonos planos. En un poliedro se distinguen los siguientes elementos:

• Las caras: cada uno de los polígonos que lo delimitan.
• Las aristas: rectas en las que confluyen dos caras adyacentes.
• Los vértices: puntos de intersección entre las aristas.
• Los ángulos poliedros: formados por tres o más caras, con un vértice común.
• Las diagonales: rectas trazadas entre dos vértices de distintas caras.

Según el número de caras, los poliedros se denominan tetraedros (4 caras), pentaedros (5), hexaedros (6), heptaedros (7), octaedros (8), dodecaedros (12), icosaedros (20), etcétera.
Sólo existen cinco poliedros regulares, cuyas caras son polígonos regulares e iguales: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro regulares. En los poliedros convexos se cumple que el número de vértices más el número de caras es igual al número de aristas más dos: V + C = A + 2. (Relación de Euler).

Ejemplos de poliedros. De izquierda a derecha: cubo, tetraedro, hexaedro no regular, dodecaedro y prisma oblicuo.

Prisma y ortoedro

El prisma es una clase especial de poliedro que está limitado por una superficie prismática cerrada, engendrada por una recta que se desplaza en paralelo con respecto a otra recta fija, y dos planos paralelos llamados bases. El prisma se dice recto cuando las aristas de sus caras laterales son perpendiculares a las bases, y oblicuo en caso contrario.
Un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares se llama regular. Un prisma cuyas bases son paralelogramos, recibe el nombre de paralelepípedo.
Por su parte, un ortoedro es un paralelepípedo cuyas bases son rectángulos. En un ortoedro, las caras son iguales dos a dos y las aristas lo son cuatro a cuatro; de este modo, todas sus diagonales son iguales y su valor se determina como:

donde a, b, c son las medidas de las aristas correspondientes a la altura, la anchura y la profundidad del ortoedro.

Pirámides

Se llama pirámide a todo poliedro que está limitado por un ángulo poliedro y por un plano que interseca a todas las aristas de dicho ángulo. Cuando el polígono que define la intersección del plano con las aristas es regular, la pirámide también se llama regular.
El tetraedro regular es un caso particular de pirámide regular, cuya base es un triángulo equilátero, de manera que todas sus aristas son iguales.

Volúmenes de prismas y pirámides

El volumen de los poliedros, definido como la medida del espacio que ocupa, se expresa comúnmente en función de las aristas, el área de la base y la altura, según los casos.

Volumen de diversos tipos de prismas.

Volumen de las pirámides y los troncos de pirámide.

Polígonos y Figuras Planas

Las figuras geométricas planas cerradas reciben el nombre de polígonos. El estudio de las características de estas figuras ha ocupado a los filósofos y matemáticos desde la Antigüedad, y posee numerosas aplicaciones prácticas en la medida de superficies y en la generación de modelos geométricos complejos.

Elementos de un polígono

Un polígono se define como la porción de un plano delimitada por una sucesión de segmentos unidos por sus extremos, que configuran una línea poligonal cerrada. Los elementos principales de un polígono son:

• Los lados: cada uno de los segmentos de la línea poligonal.
• Los vértices: puntos de intersección entre cada dos segmentos o lados consecutivos.
• Los ángulos interiores: determinados por cada dos lados consecutivos; y los ángulos exteriores: definidos como los suplementarios de los interiores.
• Las diagonales, o cada uno de los segmentos que une dos vértices no consecutivos.

Según el número de lados, los polígonos pueden ser triángulos (3 lados), cuadriláteros (4), pentágonos (5), hexágonos (6), heptágonos (7), octógonos (8), etcétera.
Un polígono de n lados tiene un número de diagonales en cada vértice igual a n ¿ 3.
Por otra parte, los ángulos interiores de un polígono convexo suman un valor igual a tantos ángulos llanos como lados tiene el polígono menos dos. Por ejemplo, en un cuadrilátero, los ángulos interiores suman dos ángulos llanos (360º), y en un pentágono, tres ángulos llanos (540º).

La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a tantos ángulos llanos como lados tiene, menos dos.

Paralelogramos

Dentro del grupo de los cuadriláteros, o polígonos de cuatro lados, los paralelogramos son aquellos cuyos lados son paralelos dos a dos. En este grupo se incluyen los siguientes polígonos:

• Rectángulos: paralelogramos equiángulos donde todos los ángulos interiores valen 90º. En esta familia se incluyen los cuadrados, paralelogramos equiángulos y equiláteros que se caracterizan porque los cuatro lados son iguales entre sí.
• Rombos: paralelogramos equiláteros, con los cuatro lados iguales pero ángulos diferentes.
• Romboides: que no son ni equiláteros ni equiángulos.

Trapecios

Otra clase de cuadriláteros es la familia de los trapecios, que tienen dos lados paralelos y dos no. Los dos lados paralelos se llaman bases del trapecio, de modo que la más larga es la base mayor y la otra, la base menor. La mínima distancia entre las dos bases se denomina altura del trapecio.
Un trapecio se dice rectángulo cuando los dos lados paralelos del mismo son perpendiculares a otro de los lados. Por otra parte, se llama trapecio isósceles a aquel en que los dos lados no paralelos tienen igual longitud.

Polígonos inscritos y circunscritos

Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que ésta define. El polígono se dice circunscrito en la circunferencia si, estando todos sus vértices situados fuera de la circunferencia, los lados son tangentes a la misma.
Los polígonos regulares poseen una única circunferencia inscrita y otra circunscrita, y ambas son concéntricas. El centro de ambas circunferencias se llama también centro del polígono regular.

Áreas de polígonos

Se define área de un polígono como la medida de su superficie. Este área se suele expresar en función de la medida de los lados, las alturas o las diagonales, según el tipo de cuadrilátero.

Clases de paralelogramos.

Principales Estrategias de Cálculo Mental

1. SUMA

1.1 A un número sumar progresivamente las unidades, decenas, centenas… del otro en este orden o en el inverso.

Ejemplo 1: 53+44=53+(4+40)=(53+4)+40=57+40=97
Ejemplo 2: 125+114=125+(100+14)=(125+100)+14=225+14=239


1.2 Sumar de izquierda a derecha.

Ejemplo 1: 35+48=(30+40)+(5+8)=70+13=83
Ejemplo 2: 438+328=(400+300)+(30+20)+(8+8)=700+50+16=766
Ejemplo 3: 670+552=(600+500)+(70+50)+(0+2)=1100+120+2=1222


1.3 Si uno de los números es próximo a una decena, completar hasta esa decena sumando o restando unidades del otro número.

Ejemplo 1: 48+35=(48+2)+(35-2)=50+33=83
Ejemplo 2: 195+266=(195+5)+(266-5)=200+261=461
Ejemplo 3: 51+85=(51-1)+(85+1)=50+86=136.


1.4 Si uno de los números es próximo a una decena, completar hasta esa decena y sumar o restar unidades del resultado final.

Ejemplo 1: 48+35=(48+2)+35-2=50+35-2=85-2=83
Ejemplo 2: 127+45=(127+3)+45-3=130+45-3=175-3=172


1.5 Para tres o más sumandos reagrupar para que las sumas resulten más sencillas.

Ejemplo 1: 35+24+5=(35+5)+24=40+24=64
Ejemplo 2: 160+26+38=(160+38)+26=198+26=(200+26)-2=224



2. RESTA

2.1 Restar del minuendo las uniudades, decenas, centenas… del sustraendo, en este orden o en el inverso.

Ejemplo 1: 96-42=96-2-40=94-40=54
Ejemplo 2: 96-42=96-40-2=56-2=54
Ejemplo 3: 652-431=652-400-30-1=252-30-1=221


2.2 Si uno de los números es próximo a una decena, completar hasta esa decena y sumar o restar unidades del resultado final.

Ejemplo 1: 57-19=57-20+1=37+1=38
Ejemplo 2: 89-15=90-15-1=75-1=74


2.3 Utilizar la prueba de la resta para buscar el resultado.

Ejemplo 1: 37-25=12 porque 25+12=37
Ejemplo 2: 120-13=107 porque 107+13=120


3. MULTIPLICACIÓN

3.1 Si uno de los dos números es próximo a una decena, completar hasta esa decena para utilizar el producto por un número acabado en cero y la propiedad distributiva.

Ejemplo 1: 22 x 15=(20+2) x 15=20 x 15 + 2 x 15=300+30=330
Ejemplo 2: 59 x 8=(60-1) x 8=60 x 8 – 1 x 8=480-8=472


3.2 Para multiplicar por una potencia de dos hacer el doble sucesivamente.

Ejemplo : 35 x 8=35 x 2 x 2 x 2=70 x 2 x 2=140 x 2=280


3.3 Para multiplicar un número por 5 multiplicar por 10 y dividir entre 2.

Ejemplo: 47 x 5=47 x 10 : 2=470 : 2=235


3.4 Para multiplicar un número por 6 multiplicar por 3 y por 2 sucesivamente.

Ejemplo: 13 x 6=13 x 3 x 2=39 x 2=78.


3.5 Para una multiplicación de varios factores utilizar la conmutativa para obtener productos más sencillos.

Ejemplo: 25 x 13 x 4=25 x 4 x 13=100 x 13=1300

4. DIVISIÓN

4.1Para dividir entre una potencia de dos, dividir entre dos sucesivamente.


Ejemplo: 440:8=440:2:2:2=220:2:2=110:2=55


4.2 Para dividir entre 5 multiplicar el dividendo por 2 y dividirlo entre 10.


Ejemplo: 640:5=(640 x 2) : (5×2)=1280 : 10=128


4.3 Si dividendo y divisor acaban en cero eliminar el máximo de ellos.

Ejemplo 1: 80:40=8:4=2
Ejemplo 2: 3600:40=360:4=90

4.4 Para dividir un número acabado en uno o varios ceros, dividir el número sin los ceros y añadir los ceros al cociente.


Ejemplo 1: 120:4=(12:4) x 10=3 x 10=30
Ejemplo 2: 6400:32=(64:32) x 100=2 x 100=200

La Estadísticas y sus conceptos

En el mundo natural y en las sociedades humanas existen fenómenos cuyo comportamiento no puede establecerse mediante leyes fijas, sino que obedecen a la conjunción de múltiples factores cuya interacción es a menudo incontrolable. En tales casos se recurre a análisis estadísticos, que recogen datos sobre un número elevado de manifestaciones del fenómeno y los relacionan y describen por medio de tablas, gráficos y valores numéricos representativos.

Conceptos de estadística

En el manejo de modelos estadísticos se utilizan tres conceptos fundamentales:

• Población, definida como el conjunto de todos los elementos que verifican una cierta característica considerada de interés para el estudio estadístico.
• Individuo, cada uno de los elementos de una población. El número de individuos define el tamaño de la población.
• Muestra o subpoblación, entendida como cualquier subconjunto representativo de la población considerada.

Por su parte, los individuos de una población poseen una serie de cualidades o propiedades que, genéricamente, se conocen por caracteres. Existen dos clases de estas propiedades:

• Cuantitativas, susceptibles de expresarse mediante números. Por ejemplo, la edad, el número de hijos, el peso o la estatura.
• Cualitativas, que sólo pueden explicarse mediante palabras, como el color del pelo, la nacionalidad, el sexo, el estado civil, etc.

Clases de variables estadísticas

El conjunto de valores que constituyen un carácter estadístico se denomina variable estadística. En términos estrictos, se denomina variable estadística a todo carácter cuantitativo de un individuo, mientras que los caracteres cualitativos se suelen llamar atributos.
Las variables estadísticas se clasifican en dos grandes grupos:

• Variables discretas, que toman únicamente valores puntuales. Por ejemplo, el número de hijos de una mujer es siempre un valor entero: 0, 1, 2, 3, ...
• Variables continuas, que pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números reales R o de un intervalo suyo. Ejemplos de variables continuas son las medidas antropomórficas de los recién nacidos, la altura de los ciudadanos de un determinado colectivo, la medición de temperaturas, etcétera.

Se llama recorrido de una variable a la máxima diferencia que existe entre sus valores.

Clasificación de los caracteres estadísticos.

Frecuencias

Si se observa un carácter en los elementos de una población, se determinará que aparece de la misma manera en un cierto número de ellos. Este concepto se denomina frecuencia, de forma que:

• Se denomina frecuencia absoluta al número de veces que aparece cada valor de una variable dentro del conjunto de datos. La frecuencia absoluta del carácter i se expresa como f_i.
• Se llama frecuencia relativa, y se expresa como h_i, al cociente entre la frecuencia absoluta del carácter y el número total de observaciones n. Es decir: h_i = f_i/n
  Cuando se ordenan los valores de la variable en sentido creciente o decreciente y se van sumando hasta un cierto valor determinado, se habla de frecuencia acumulada, que puede ser absoluta o relativa según el concepto de frecuencia que se considere.

Presentación de tablas

Una primera forma de presentación de datos estadísticos se basa en el uso de tablas. Las más sencillas son las tablas de distribución de frecuencias, donde se indican en columnas:

• El valor de la variable.
• La frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y, en ocasiones, la frecuencia acumulada.

En las tablas estadísticas se cumplen algunas propiedades interesantes que sirven de mecanismos de control de su exactitud:

• La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la población de la muestra.
• La suma de las frecuencias relativas es siempre igual a 1.
• La última frecuencia absoluta acumulada coincide con el número total de observaciones.
• La última frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad.

Tabla de Doble entrada

Los estudios estadísticos que se centran en el análisis de una sola variable se llaman unidimensionales. Sin embargo, en las situaciones reales es corriente que se tenga que investigar la combinación de dos variables estadísticas, en lo que se conoce por distribución bidimensional. En este campo, se utilizan presentaciones de los datos en tablas de doble entrada, con gráficas de nube de puntos que interrelacionan las variables.

Distribuciones bidimensionales

Cuando se realizan estudios estadísticos de dos variables, el modelo resultante recibe el nombre de distribución bidimensional. Algunos ejemplos de este tipo de distribución son las tablas de altura-peso de un colectivo de población, la relación pulso-temperatura de un grupo de enfermos y la gráfica de ingresos y gastos de una empresa.
En estas distribuciones se manejan variables estadísticas bidimensionales, que constituyen pares de valores de cada una de las variables elementales que intervienen, denotados por (x_i, y_j).

Ejemplo de un gráfico de dispersión (nube de puntos), que relaciona dos variables de una distribución bidimensional.

Tablas de doble entrada y de contingencia

Las variables bidimensionales suelen expresarse en forma de tablas de doble entrada, del estilo de la siguiente:

Este tipo de tabla no resulta cómodo para el trabajo, por lo que a menudo se abrevia mediante la definición de las llamadas frecuencias bidimensionales. Se define frecuencia absoluta bidimensional como el número de veces que aparece en la tabla cada par (x_i, y_j) de las variables elementales. Si se divide la frecuencia absoluta bidimensional por el número total de pares, se obtiene la frecuencia relativa bidimensional correspondiente.
Para simplificar la expresión de una distribución bidimensional, se usan con frecuencia tablas de doble entrada especiales, donde se indican las frecuencias correspondientes a cada par. Estas disposiciones se denominan tablas de contingencia.

Frecuencias marginales y condicionadas

Cuando en una tabla de doble entrada se suman las frecuencias absolutas por filas y por columnas, se obtiene un nuevo parámetro denominado frecuencia absoluta marginal. Con este parámetro se relaciona otro valor de interés en distribuciones bidimensionales: la frecuencia relativa marginal, que se obtiene como el cociente entre la frecuencia absoluta marginal y el número total de observaciones.
Por otra parte, se llama frecuencia relativa condicionada al valor expresado en tanto por ciento de una variable de la distribución bidimensional condicionada a cada valor de la otra variable.

Nubes de puntos

Las distribuciones bidimensionales se representan con frecuencia en gráficas de dispersión o de nube de puntos sobre un par de ejes cartesianos, donde una de las variables se indica en las abscisas y la otra en las ordenadas. Los puntos de la gráfica tienen, así, como coordenadas el par de valores de cada una de las variables.
En el manejo de las gráficas de nube de puntos puede obtenerse una línea recta representativa que se usa como método de ajuste de los valores de las variables. El procedimiento más común de ajuste de una nube de puntos mediante una recta utiliza como puntos de referencia los que poseen como coordenadas las medias aritméticas de cada variable, es decir, ().

Ejemplo de ajuste de una gráfica de dispersión mediante una recta.

Medidas de Dispersión

Las medidas de tendencia central ofrecen una idea aproximada del comportamiento de una serie estadística. No obstante, no resultan suficientes para expresar sus características: una misma media puede provenir de valores cercanos a la misma o resultar de la confluencia de datos estadísticos enormemente dispares. Para conocer en que grado las medidas de tendencia central son representativas de la serie, se han de complementar con medidas de dispersión como la varianza o la desviación típica.

Concentración y dispersión

Las medidas de centralización ayudan a determinar el «centro de gravedad» de una distribución estadística. Para describir el comportamiento general de la serie se necesita, sin embargo, una información complementaria para saber si los datos están dispersos o agrupados.
Así, las medidas de dispersión pueden definirse como los valores numéricos cuyo objeto es analizar el grado de separación de los valores de una serie estadística con respecto a las medidas de tendencia central consideradas.
Las medidas de dispersión son de dos tipos:

• Medidas de dispersión absoluta: como recorrido, desviación media, varianza y desviación típica, que se usan en los análisis estadísticos generales.
• Medidas de dispersión relativa: que determinan la dispersión de la distribución estadística independientemente de las unidades en que se exprese la variable. Se trata de parámetros más técnicos y utilizados en estudios específicos, y entre ellas se encuentran los coeficientes de apertura, el recorrido relativo, el coeficiente de variación (índice de dispersión de Pearson) y el índice de dispersión mediana.

La distribución normal, o campana de Gauss, es una función simétrica (con la media aritmética en el centro de la serie) con un grado de dispersión bajo (la mayoría de los valores están comprendidos dentro del valor de la desviación típica ).

Recorrido

La medida de dispersión más inmediata es el recorrido de la distribución estadística, también llamado rango o amplitud. Dada una serie de valores x₁, x₂, ..., x_n, su recorrido es la diferencia aritmética entre el máximo y el mínimo de estos valores:

Desviación media

Como medida de dispersión más frecuentemente utilizada, la desviación media se define como la media aritmética de los valores absolutos de la desviación de cada valor de la variable con respecto a la media. Su formulación matemática es la siguiente:

Varianza y desviación típica

La desviación media no siempre suministra una idea clara del grado de separación entre los valores de una variable estadística. Para estudios científicos, se prefiere utilizar una pareja de parámetros relacionados que se conocen como varianza y desviación típica.
La varianza se define como el cociente entre la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable y el número de datos del estudio. Matemáticamente, se expresa como:

Por su parte, la desviación típica, simbolizada por s, se define sencillamente como la raíz cuadrada de la varianza:

Por lo tanto, se tiene que:

La varianza y la desviación típica, cada una con su respectivo valor, se usan indistintamente en los estudios estadísticos.

Medidas de Tendencia Central

Las características globales de un conjunto de datos estadísticos pueden resumirse mediante una serie de cantidades numéricas representativas llamadas parámetros estadísticos. Entre ellas, las medidas de tendencia central, como la media aritmética, la moda o la mediana, ayudan a conocer de forma aproximada el comportamiento de una distribución estadística.

Medidas de centralización

Se llama medidas de posición, tendencia central o centralización a unos valores numéricos en torno a los cuales se agrupan, en mayor o menor medida, los valores de una variable estadística. Estas medidas se conocen también como promedios.
Para que un valor pueda ser considerado promedio, debe cumplirse que esté situado entre el menor y el mayor de la serie y que su cálculo y utilización resulten sencillos en términos matemáticos.
Se distinguen dos clases principales de valores promedio:

• Las medidas de posición centrales: medias (aritmética, geométrica, cuadrática, ponderada), mediana y moda.
• Las medidas de posición no centrales: entre las que destacan especialmente los cuantiles.

Las medidas de centralización son parámetros representativos de distribuciones de frecuencia como las que ilustra la imagen.

Media aritmética

Se define media aritmética de una serie de valores como el resultado producido al sumar todos ellos y dividir la suma por el número total de valores. La media aritmética se expresada como .
Dada una variable x que toma los valores x₁, x₂, ..., x_n, con frecuencias absolutas simbolizadas por f₁, f₂, ..., f_n, la media aritmética de todos estos valores vendrá dada por:

Media ponderada

En algunas series estadísticas, no todos los valores tienen la misma importancia. Entonces, para calcular la media se ponderan dichos valores según su peso, con lo que se obtiene una media ponderada.
Si se tiene una variable con valores x₁, x₂, ..., x_n, a los que se asigna un peso mediante valores numéricos p₁, p₂, ..., p_n, la media ponderada se calculará como sigue:

Mediana

La media aritmética no siempre es representativa de una serie estadística. Para complementarla, se utiliza un valor numérico conocido como mediana o valor central.
Dado un conjunto de valores ordenados, su mediana se define como un valor numérico tal que se encuentra en el centro de la serie, con igual número de valores superiores a él que inferiores. Normalmente, la mediana se expresa como Me.
La mediana es única para cada grupo de valores. Cuando el número de valores ordenados (de mayor a menor, o de menor a mayor) de la serie es impar, la mediana corresponderá al valor que ocupe la posición (n + 1)/2 de la serie. Si el número de valores es par, ninguno de ellos ocupará la posición central. Entonces, se tomará como mediana la media aritmética entre los dos valores centrales.

Determinación de la mediana de una serie de valores.

Moda

En una serie de valores a los que se asocia una frecuencia, se define moda como el valor de la variable que posee una frecuencia mayor que los restantes. La moda se simboliza normalmente por Mo.
Un grupo de valores puede tener varias modas. Una serie de valores con sólo una moda se denomina unimodal; si tiene dos modas, es bimodal, y así sucesivamente.

Representación Gráfica de Datos Estadísticos

En los análisis estadísticos, es frecuente utilizar representaciones visuales complementarias de las tablas que resumen los datos de estudio. Con estas representaciones, adaptadas en cada caso a la finalidad informativa que se persigue, se transmiten los resultados de los análisis de forma rápida, directa y comprensible para un conjunto amplio de personas.

Tipos de representaciones gráficas

Cuando se muestran los datos estadísticos a través de representaciones gráficas, se ha de adaptar el contenido a la información visual que se pretende transmitir. Para ello, se barajan múltiples formas de representación:

• Diagramas de barras: muestran los valores de las frecuencias absolutas sobre un sistema de ejes cartesianos, cuando la variable es discreta o cualitativa.
• Histogramas: formas especiales de diagramas de barras para distribuciones cuantitativas continuas.
• Polígonos de frecuencias: formados por líneas poligonales abiertas sobre un sistema de ejes cartesianos.
• Gráficos de sectores: circulares o de tarta, dividen un círculo en porciones proporcionales según el valor de las frecuencias relativas.
• Pictogramas: o representaciones visuales figurativas. En realidad son diagramas de barras en los que las barras se sustituyen con dibujos alusivos a la variable.
• Cartogramas: expresiones gráficas a modo de mapa.
• Pirámides de población: para clasificaciones de grupos de población por sexo y edad.

Diagramas de barras e histogramas

Los diagramas de barras se usan para representar gráficamente series estadísticas de valores en un sistema de ejes cartesianos, de manera que en las abscisas se indica el valor de la variable estadística y en las ordenadas se señala su frecuencia absoluta.
Estos gráficos se usan en representación de caracteres cualitativos y cuantitativos discretos. En variables cuantitativas continuas, se emplea una variante de los mismos llamada histograma.

Diagrama de barras.

Histograma.

Polígonos de frecuencias

Para construir polígonos de frecuencias, se trazan las frecuencias absolutas o relativas de los valores de la variable en un sistema de ejes cartesianos y se unen los puntos resultantes mediante trazos rectos. Con ello se obtiene una forma de línea poligonal abierta.
Los polígonos de frecuencias se utilizan preferentemente en la presentación de caracteres cuantitativos, y tienen especial interés cuando se indican frecuencias acumulativas. Se usan en la expresión de fenómenos que varían con el tiempo, como la densidad de población, el precio o la temperatura.

Gráficos de sectores

En los diagramas de sectores, también llamados circulares o de tarta, se muestra el valor de la frecuencia de la variable señalada como un sector circular dentro de un círculo completo. Por ello, resultan útiles particularmente para mostrar comparaciones entre datos, sobre todo en forma de frecuencias relativas de las variables expresadas en forma de porcentaje.

Pictogramas y cartogramas

Para aligerar la presentación de datos estadísticos, con frecuencia se recurre a imágenes pictóricas representativas del valor de las variables. Dos formas comunes de expresión gráfica de los datos son:

• Los pictogramas, que muestran diagramas figurativos con figuras o motivos que aluden a la distribución estadística analizada (por ejemplo, una imagen antropomórfica para indicar tamaños, alturas u otros).
• Los cartogramas, basados en mapas geográficos que utilizan distintas tramas, colores o intensidades para remarcar las diferencias entre los datos.

Pirámide de población

Otra forma corriente de presentación visual de datos estadísticos es la llamada pirámide de población.
Las pirámides de población se utilizan en la expresión de informaciones demográficas, económicas o sociales, y en ellas se clasifican comúnmente los datos de la población del grupo de muestra considerado en diferentes escalas de edad y diferenciada por sexo.

Ejemplo de una pirámide de población.

Polígono de frecuencias. Polígono de frecuencias acumulativas. Gráfico de sectores. Representación de datos estadísticos en un pictograma.

Cálculo Mental

Todos alguna vez hemos sumado y restado utilizando los dedos. Pero está claro que este sistema no es precisamente el más rápido. Si nos acostumbramos a realizar operaciones sencillas sin utilizar la calculadora, observaremos cómo vamos progresando satisfactoriamente en otras más complicadas. Nuestra mente se volverá así más ágil a la hora de resolver otros tipos de situaciones que necesitan de una respuesta rápida.

No es necesario papel ni calculadora, sólo pensar. Las reglas de cálculo son muy sencillas, es una cuestión de práctica y concentración.

Desarrollo del cálculo mental

Es posible que te hayas encontrado en algún momento con esta situación: estás en el supermercado y quieres saber si llevas suficiente dinero para pagar la compra, pero no tienes una calculadora. No necesitas saber con exactitud cuánto llevas gastado, bastaría con una aproximación. Esta situación puede ser resuelta de forma rápida utilizando el cálculo mental.
Es posible conseguir resultados rápidos y sorprendentes con estas sencillas indicaciones:

1. Utilizar las tablas de multiplicar y la forma en que se realizaban las sumas en nuestra primera etapa escolar.
2. Repasar dichas tablas unas cuantas veces hasta que se hayan recordado y realizar sumas desde las más sencillas a las más complicadas.
3. Adquirir unos mínimos conocimientos matemáticos, ya que a veces puede ser necesario descomponer números complicados en otros más sencillos que faciliten el cálculo.
4. Utilizar el sentido común en estas situaciones.

Las bases de la operación suma

Las reglas para realizar mentalmente una suma parecen complicadas. Pero si las lees detenidamente verás que muchas ya las conoces.

• Conmutatividad. Es más sencillo sumar el número mayor con el menor que el menor con el mayor (6 + 3 y no 3 + 6). Y debido a esta propiedad de la suma, el resultado es el mismo.
• Conteo ascendente. Es más fácil contar de dos en dos o de tres en tres. Prueba a contar las monedas que llevas de esta forma.
• Dieces. Para sumar 10 a un número de una cifra, añadimos un 1 a la izquierda de dicho número.
• Dobles. Al sumar dos cifras iguales, doblamos el número.
• Dobles más uno. 57 + 58 se suma más fácil doblando el 57 (114) y añadiéndole 1, operación que da 115.
• Número misterioso. Para sumar dos números casi consecutivos, como 7 y 9, doblamos el número intermedio. Es decir, 8 + 8 = 16.
0
• Los nueves. Para sumar 9 a cualquier número, sumamos 10 y restamos uno.
• La familia del 10. Para sumar muchos números, es más sencillo comenzar emparejando los que sumen diez.
• Buscando el diez. En una suma, descomponemos uno de los números para poder llegar a diez con el otro sumando.

La tabla de multiplicar

Al igual que con la suma, sólo tendrás que recordar unas reglas que ya aprendiste cuando estudiabas en el colegio.

• Conmutar: si sabes cuánto es 7 · 8 sabrás cuánto es 8 · 7. Escoge la opción que te resulte más fácil.
• Doblar: multiplicar por dos es lo mismo que sumar el número dos veces.
• Añadir un cero: si tienes que multiplicar un número por diez, añádele un cero a su derecha ¡y ya está!
• Doble y mitad: si tenemos, por ejemplo, 25 · 14, es más fácil doblar el 25 y después dividir entre dos 14. Es decir, 50 · 7 = 350.
• Cero y mitad: si tienes que multiplicar un número por 5, simplemente multiplícalo por diez y divídelo entre dos.
• Descomposición: si los números son de varias cifras, es más rápido descomponer uno de ellos en sumas o restas de números más pequeños. Por ejemplo, 57 ·13 equivale a (57 · 10) + (57 · 3).
• Patrones: los resultados se memorizan porque son curiosos o chocantes.

Multipliquemos con los dedos de las manos

Todos alguna vez hemos contado con los dedos de las manos. Pero lo que no todos saben es que también se puede multiplicar de una forma rápida y segura con ellos. Si te resulta difícil multiplicar a partir de número 5, sólo tienes que seguir las indicaciones que aparecen a continuación.
Asignamos a cada dedo un valor: desde el 6 para el pulgar hasta el 10 para el meñique.
Con los pulgares hacia arriba, juntamos los dedos que corresponden en cada mano a cada uno de los números que queremos multiplicar. Mentalmente, asignamos a los dedos unidos y a los que queden por encima de los unidos el valor 10, y los sumamos. Contamos el número de dedos que quedan por debajo de los dedos unidos, el número de dedos en la mano derecha y el número de dedos en la izquierda. Se multiplican estos números y se suma el resultado de esta multiplicación a la cifra obtenida anteriormente.
Como posiblemente te habrás hecho un lío, pincha sobre el siguiente ejemplo para verlo mucho más claro.

Sumas rápidas o cálculo pensado aditivo

Para calcular sumas de forma rápida existen varios métodos:

• Redondeo: buscamos que uno de los números acabe en cero mediante sumas y restas. Ejemplo: 57 + 38 = (57 + 3) + (38 - 3) = 60 + 35 = 95
• Conteo: sumamos progresivamente a uno de los números, de izquierda a derecha, el otro; es decir, lo último que sumaremos serán las unidades, antes sumaremos las decenas, antes las centenas... Ejemplo: 283 + 435 = (283 + 400) + 35 = 683 + 35 = (683 + 30) + 5 = 713 + 5 = 718
• Recolocación: agrupamos los números cuyas unidades sumen diez. Es más fácil sumar números que acaban en cero. Ejemplo: 57 + 86 + 53 + 34 = (57 + 53) + (86 + 34) = 110 + 120 = 230
• Descomposición: separamos los sumandos en otros fáciles de sumar, intentando que acaben en cero o que sumen diez. Ejemplo: 77 + 148 = 70 + 7 + 140 + 8 = (70 + 140) + (5 + 3) + 7 = 210 + (3 + 7) + 5 = 225

Estas mismas reglas sirven también para la resta, ya que esta operación es la inversa de la suma.

Cálculo pensado multiplicativo

Para calcular el resultado de una multiplicación podemos recurrir a algunos métodos que nos ayuden a hacerlo más rápidamente:

• Imagina que coges un lápiz y un papel, y representa mentalmente la operación.
• Utiliza el Método de la distribución, que consiste en descomponer uno de los factores en una suma de otros más sencillos. Ejemplo: 8 · 4.211 = 8 (4.000 + 200 + 10 + 1) = 32.000 + 1.600 + 80 + 8 = 33.688

• Utiliza el Método de factorización, que consiste en transformar cada factor en pequeños productos de números más sencillos. Ejemplo: 25 · 48 = (5 · 5) · (6 · 8) = (5 · 8) · (5 · 6) = 40 · 30 = 1.200

Estos mismos trucos se pueden aplicar también a la división, ya que esta operación se puede expresar como una multiplicación.

Resultados aproximados

Cuando nos interesa más obtener un resultado de forma rápida que la exactitud del cálculo en sí mismo, podemos recurrir a dos técnicas que nos dan resultados aproximados. Eso sí, hay que tener en cuenta que conllevan un error que será mayor cuanto más nos alejemos de las cifras reales.

• Redondeo: consiste en sustituir cifras por ceros. Para entenderlo, vamos a calcular el sueldo anual de un trabajador que cobra 1.207,75 euros al mes. Si multiplicamos 1.200 euros por 12 meses, obtendremos el resultado aproximado de 14.400 euros anuales, aunque la cifra real que esta persona percibe es de 14.493 euros.
• Truncamiento: con esta operación eliminamos decimales, que siempre dificultan la operación del cálculo matemático. Supongamos que Iñaki utiliza la calculadora para saber lo que se gastarán él y su mujer Ainhoa en la compra doméstica. Ella lo va calculando mentalmente: tiene en cuenta que si los céntimos son inferiores a 50 suma los euros que marca el precio, y si los céntimos son 50 o más añade un euro al precio.

Antes de pasar por caja, Ainhoa le dice a su marido que la compra les costará unos 55 euros ¡y sin calculadora! Iñaki mira el resultado en la pantalla y observa sorprendido que el resultado son 54,68 euros. Así por ejemplo, si han comprado dos productos de 48,56 y 6,12 euros respectivamente (54,68 euros en total), Ainhoa ha podido calcular de forma aproximada que van a costar un total de 55 euros (49 + 6).

Números Naturales y Enteros

Los conjuntos de los números naturales y enteros son los más próximos a la realidad humana inmediata, los que se usan en las operaciones sencillas de suma, resta y multiplicación. En esencia, los números naturales se emplean para contar los objetos de un conjunto, mientras que los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos) resultan intuitivamente de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales.

Concepto de número natural

El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4 representa a un conjunto formado por cuatro elementos.
El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4, ...}. En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiere incluir este elemento en el conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este conjunto puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él pueden definirse operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como relaciones de orden (mayor que, menor que).

Números enteros

De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N Ì Z.
En sentido estricto, un número entero se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares de la correspondencia N x N, de manera que a cada par de elementos (n₁, n₂) le hace corresponder un número entero z definido como z = n₁ - n₂. Por ejemplo, los pares (1,3), (2,4), (14,16), (20,22), etc., son equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia representada por el número entero -2.

El termómetro común permite efectuar lecturas en el conjunto de los números enteros, ya que expresa valores de temperatura positivos o negativos, sin considerar posibles cifras decimales.

Representación de los números enteros

El conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen al conjunto Z.
En esta distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es mayor o igual que m (n ³ m) si n - m es un número entero positivo o cero. En virtud de ello, el de los números enteros es un conjunto ordenado.

Representación gráfica del conjunto Z.

Operaciones con números enteros

En el conjunto de los números enteros se definen habitualmente dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto. Dados dos números enteros a 5 (a₁, a₂) y b 5 (b₁, b₂), la suma se define como:

Por ejemplo, la suma de 4 y (21) puede escribirse como: (4) + (-1) = (5, 1) + (3, 4) = (8, 5) = 3. Por su parte, el producto se obtiene como:

Así, el producto de 4 por (-1) se calcularía como: (4) × (-1) = (5, 1) × (3, 4) = =(5 × 3 + 1 × 4, 5 × 4 + 1 × 3) = (19, 23) = 24.

Múltiplos y divisores

En el conjunto de los números enteros, se dice que un número n es divisor de otro m, y se escribe n | m, si existe un entero q tal que n × q = m. También se dice entonces que n divide a m, o que m es múltiplo de n o es divisible por n. Por ejemplo, 4 es divisor de (-12), ya que 4 × (-3) = (-12) y -3 es un número entero.
Según las reglas de la divisibilidad, cabe distinguir dos clases genéricas de números enteros:

• Números primos: son aquellos distintos de la unidad que sólo admiten como divisores a él mismo, a su opuesto y a la unidad.
• Números compuestos: son todos los restantes.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Dados dos o más números enteros, el máximo común divisor (m. c. d.) de todos ellos es el mayor de sus divisores comunes. Por su parte, el mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números enteros es el menor de sus múltiplos comunes.
Para calcular estos dos valores se han de descomponer en sus factores primos los números de partida, es decir, en un producto de números enteros que sean números primos.
Entonces, el m. c. d. se calcula como el producto de todos los factores primos comunes de los números elevados al menor exponente; el m. c. m. se obtiene como el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

El Conjunto de Numeros Enteros

Es posible que en algún momento hayas oído la expresión "estamos en números rojos", es decir, que el saldo de la cuenta bancaria está por debajo de 0 euros y por tanto se le debe dinero al banco. Se dice entonces que existe un saldo negativo en la cuenta, que se representa con un número entero, por ejemplo, -100 euros. También utilizamos los números enteros cuando expresamos temperaturas, por ejemplo, cuando hace mucho frío y la temperatura está bajo cero ("la mínima ayer fue de -2º C"), cuando bajamos a las plantas subterráneas de algunos edificios y en el ascensor pulsamos el botón -1, o cuando un submarinista se adentra en las profundidades del mar a -1.000 metros.

Los números enteros

El conjunto de números enteros se designa con la letra Z y está compuesto por:

• Los números enteros negativos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1}.
• El número cero: 0.
• Los números enteros positivos: Z+ = {... , 1, 2, 3, 4}.

Los números naturales se consideran números enteros positivos y van precedidos del signo positivo (+), aunque no es obligatorio utilizarlo y no suele escribirse. A cada entero positivo le corresponde un número entero negativo, precedido obligatoriamente por el signo negativo (-).
Si representamos los números enteros en una recta numérica, veremos que un número entero A es menor a otro número entero B si al representarlo se ubica a la izquierda del mismo.
El sentido positivo es el que va desde 0 hacia la derecha o hacia arriba y el sentido negativo el que va de 0 a la izquierda o hacia abajo. Existen una serie de reglas para la ordenación y comparación de números enteros:

• Si los dos números enteros son positivos, es menor el que tenga menor valor absoluto: 4 < 8
• Si los dos números enteros son negativos, es menor el que tenga mayor valor absoluto: -8 < -4
• Si uno es positivo y el otro negativo, es menor el negativo: -8 < 4
• Todos los números negativos son menores que cero: -8 < 0
• Todos los números positivos son mayores que cero: 4 > 0

El valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número de unidades que dista de cero. Por este motivo, la ordenación de los números enteros se realiza con respecto al 0. Así mismo, el valor absoluto también puede expresarse como el número natural que se obtiene tras suprimir el signo positivo (+) o negativo (-). Se expresa poniéndolo entre barras:

Número entero	Representación del valor absoluto	Valor absoluto
+5	|+5|	5
-5	|-5|	5

Suma de números enteros

Si cogemos el ascensor de unos grandes almacenes en el 2º piso (+2) y subimos 3 pisos (+3), nos encontraremos en la planta 5ª (+5). Con este sencillo ejemplo vemos cómo, aunque no nos demos cuenta, utilizamos constantemente la suma de números enteros.
Se presentan varios casos de suma de números enteros:

• Suma de números enteros positivos: se suman los valores absolutos de los números. Al resultado se le pone el signo positivo. (+3) + (+5) = (+8)
• Suma de números enteros negativos: se suman los valores absolutos de los números. Al resultado se le pone signo negativo. (-3) + (-5) = (-8)
• Suma de dos números enteros de distinto signo: se restan los valores absolutos. El signo será el que tenga el número de mayor valor absoluto. (+3) + (-8) = (-5)

Además, la suma de números enteros cuenta con algunas propiedades.

Resta de números enteros

Si cogemos el ascensor de unos grandes almacenes en el 2º piso (+2) y bajamos 3 pisos (-3), nos encontraremos en la planta -1 (-1). La resta que hemos realizado, 2 - 3 = -1, podemos convertirla en una suma de números enteros:
2 - 3 = -1 = 2 + (-3) = -1
Esto es porque sumamos a nuestro desplazamiento 3 pisos hacia abajo (movimiento descendente, representado con un número negativo).
Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto.
Por tanto, para restar números enteros:
7 - (-2) = 7 + op (-2) = 7 + 2 = 9

Combinación de sumas y restas

Cuando realizamos una operación con números enteros que combina sumas con restas usamos paréntesis para evitar que aparezcan dos signos seguidos:
2 + (-9) + (5 + 1) - (3 - 4)
Podemos actuar de dos maneras diferentes:

• Eliminar todos los paréntesis, y sumar y restar normalmente.
• Operar primero con los números que están dentro de los paréntesis y eliminarlos después.

En ambos casos tenemos que suprimir los paréntesis, operación que varía en función del signo que lo precede.

• Cuando el paréntesis va precedido del signo negativo (-). Para suprimirlo hay que cambiar el signo a todos los números que hay dentro de él. (5 + 1) - (3 - 4) = (5 + 1) - 3 + 4
• Cuando el paréntesis va precedido del signo positivo (+). El paréntesis se puede suprimir sin alterar el signo de los números que hay dentro de él. (5 + 1) - (3 - 4) = 5 + 1 - (3 - 4)

Pero a veces los paréntesis están, a su vez, dentro de otros a los que llamamos corchetes.

Cálculo con corchetes

Los corchetes son paréntesis que tienen esta forma: [ ]. Se utilizan cuando en una operación matemática hay más de un paréntesis, unos dentro de otros.
Por ejemplo, 10 - [8 - (5 - 2) + (-2 + 3)] + 1
Podemos calcular esta operación con corchetes de dos formas:

1. Primera
   1. Se hace la operación del interior del paréntesis.
   2. Se hace la operación del interior del corchete. 10 - [8 - 3 + 1] + 1 = 10 - [6] + 1 = 5
2. Segunda
   1. Se suprimen los paréntesis.
   2. Se suprimen los corchetes. 10 - [8 - 5 + 2 - 2 + 3] + 1 = 10 - 8 + 5 - 2 + 2 - 3 + 1 = 5

Al quitar un corchete precedido de un signo negativo (-) hay que cambiar todos los signos de los números que hay dentro de él.

Multiplicación con números enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos. El signo del producto será positivo si los factores tienen el mismo signo y negativo si los signos son distintos.
La multiplicación se representa con el signo × (equis) o con el signo · (punto). En esta tabla tienes las combinaciones de signos posibles en los resultados de la operación multiplicación de números enteros.

Regla de los signos del producto
+	x	+	=	+
-	x	-	=	+
+	x	-	=	-
-	x	+	=	-

Algunos ejemplos de estos productos son:
(+8) · (+2) = + 16 (- 8) · (- 2) = + 16 (+8) · (- 2) = - 16 (- 8) · (+2) = - 16 El producto de números enteros cumple las mismas propiedades que el producto de números naturales.
El matemático y astrónomo Brahmagupta fue el primero en utilizar los números negativos y, además, enunció las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división). Este matemático realizaba las operaciones básicas con lo que él llamaba "bienes" (números positivos), "deudas" (números negativos) y "la nada" (el cero).

Propiedades del producto de números enteros

• Propiedad conmutativa.El orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: (a) · (b) = (b) · (a)
• Propiedad asociativa. Los factores de un producto de números enteros pueden asociarse de diferentes formas. Ejemplo: (a) · [(b) · (c)] = [(a) · (b)] · (c)
• Elemento neutro. El producto de cualquier número entero por 1 es el mismo número. Ejemplo: (a) · 1 = (a)
• Propiedad distributiva respecto a la suma o la resta. Para multiplicar una suma o una resta por un número, se multiplican cada uno de los términos de la suma o de la resta por ese número y, a continuación, se suman o se restan los resultados. Ejemplo: a · (b + c) = a · b + a · c

División con números enteros

Para dividir dos números enteros se dividen primero sus valores absolutos y al cociente se le pone signo positivo (+) o negativo (-), según tengan el dividendo y el divisor igual o diferente signo.
La división se representa con el signo / , con el signo : (dos puntos) o con el signo ÷.

Regla de los signos del producto
+	/	+	=	+
-	/	-	=	+
+	/	-	=	-
-	/	+	=	-

La división de números enteros no cumple la propiedad conmutativa del producto, es decir, no se puede cambiar el lugar del dividendo y del divisor. Pero tiene otras propiedades:

• El número 1 actúa como elemento neutro. Cualquier número entero dividido entre 1 dará el mismo número:(+8) : (+1) = 8(-9) : (+1) = -9
• No se puede dividir entre 0, pues no hay ningún número que, al multiplicarlo por 0 (que sería el divisor) nos dé algo distinto de cero (que sería el dividendo).
• El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero. Sabemos que el producto de dos números enteros da lugar a un número entero, pero no ocurre lo mismo en la división. ¿Por qué? Veamos un ejemplo: (-2) : (+4) = ¿? No hay ningún número entero que al multiplicarlo por (+4) nos dé (-2).

Jerarquía de las operaciones

Cuando se realizan operaciones combinadas con números enteros, es decir, cuando tenemos a la vez suma, resta, multiplicación o división, no podemos realizarlas de forma arbitraria. Aunque no es obligatorio, se suele empezar a operar por la izquierda. Pero si existe una jerarquía de las operaciones que debe respetarse, y es la siguiente:

1. Si hay paréntesis y corchetes, primero se resuelven las operaciones que hay en su interior.
2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones.
3. Se realizan las sumas y restas.

Veamos un ejemplo para comprenderlo mejor:

1. -4 · 2 + (-3) · 7 - (2 + 2). Primero se resuelve el paréntesis.
2. -4 · 2 + (-3) · 7 - 4. Después se realizan las multiplicaciones.
3. -8 + (-21) - 4. Finalmente se resuelven las sumas y las restas. El resultado es -33.

Números Racionales

El concepto de fracción surge intuitivamente cuando se pretende dividir una unidad en partes del mismo tamaño (por ejemplo, un pastel). Cada uno de los elementos individuales obtenidos es una parte fraccionaria de la unidad. Conceptualmente, el conjunto de los números enteros y los fraccionarios así obtenidos conforma un conjunto más general, llamado de los números racionales.

Números fraccionarios

Un número fraccionario puede verse como un par ordenado de números enteros (a, b), siendo a, b Î Z, que se expresa también como , tal que a recibe el nombre de numerador y b, que ha de ser distinto de cero, el de denominador. Los números fraccionarios pueden ser:

• Fracciones propias, cuando el numerador es menor que el denominador.Por ejemplo: etcétera.
• Fracciones impropias, en caso contrario.Por ejemplo,etcétera.

Las fracciones impropias se expresan también como números mixtos, constituidos por la suma de un entero y una fracción propia. Por ejemplo, puede escribirse también como la suma de 1 y, que corresponde al número mixto 1.
Si se considera a la fracción impropia como una división, el numerador es el dividendo (D) y el denominador el divisor (d). Entonces, el número mixto que la representa tendrá la forma genérica: , siendo c el cociente y r el resto de la división.

El conjunto de los números racionales

El conjunto que engloba a los números enteros y a los fraccionarios positivos y negativos conforma el conjunto de los números racionales, que se denota por Q. Un número racional se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares de la correspondencia Z x Z*, siendo Z* = Z - {0}, de modo que a cada par (z₁, z₂) le hace corresponder un número racional z definido como z = z₁/z₂. Por ejemplo, los pares (1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), etcétera, son equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia representada por el número racional 1/3.

Representación de los números racionales

El conjunto Q de los números racionales se representa, al igual que el de los enteros, como una serie de valores discretos sobre una recta. Los números racionales tampoco llenan la recta, aunque intercalan infinidad de valores entre los enteros. Dados dos números racionales n y m, n es mayor o igual que m (n ³ m) si n - m es un número racional positivo o cero; es decir, el conjunto de los números racionales está ordenado.

Representación gráfica del conjunto Q.

Operaciones con números racionales

En el conjunto de los números racionales se definen dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto. Dados dos números racionales a = (a₁, a₂) y b = (b₁, b₂), la suma se define como:

El producto de dos números racionales se obtiene como:

Expresión decimal de una fracción

Las fracciones pueden expresarse como números decimales, efectuando la división correspondiente entre el numerador y el denominador. Entonces, se distingue entre:

• Expresiones decimales exactas, que corresponden a las fracciones decimales aquellas que su denominador es una potencia de 10) y a las fracciones que son equivalentes a una fracción decimal. Por ejemplo
• Expresiones decimales periódicas, divididas a su vez en dos grupos: periódicas puras, en las que el periodo empieza inmediatamente después de la coma (por ejemplo, , y periódicas mixtas, en las que el periodo no se inicia justo después de la coma (como sucede en

Expresión fraccionaria de un número decimal

Dado un número decimal o exacto o de naturaleza periódica (ya sea pura o mixta), siempre es posible hallar una fracción que lo represente, llamada su fracción generatriz. Cuando el decimal es exacto, la fracción generatriz se calcula colocando en el numerador el número sin decimales y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya; si es periódico puro o mixto, se procede según el ejemplo.

Superficie

Cuando nos preguntamos qué extensión tiene un campo de fútbol, cómo es de grande mi casa o cuánto mide la mesa en la que estudio, lo que queremos saber es cuál es su superficie. Para esto, lo que hacemos es tratar al espacio como una forma geométrica llamada polígono. Un polígono es una figura geométrica plana y cerrada, que se forma al unir tres o más segmentos rectilíneos llamados lados. Los polígonos se clasifican en regulares e irregulares.
Su extensión ocupa una determinada superficie, que se puede medir de diferentes formas.

¿Qué es la superficie de un polígono?

Llamamos área o superficie de un polígono a la región interior del plano delimitada por sus lados. A menudo, nos interesa conocer lo que mide el área o superficie de un polígono.
La unidad de medida de cualquier superficie en el sistema internacional (SI) es el m2 (metro cuadrado), según el sistema métrico decimal. En el siguiente cuadro podemos ver otras formas de expresar la medida de una superficie, en función de múltiplos y submúltiplos del m2 .

En algunos sitios se usan también otro tipo de medidas de superficie, que han llegado a nosotros a través de una tradición de siglos, y que normalmente están relacionadas con los procesos agrícolas. Por ejemplo, una medida de capacidad de grano se corresponde con la superficie de tierra que se puede sembrar con ella.
Éstas son las equivalencias de algunas de las medidas agrícolas históricas:

Nombre	Equivalencia
Fanega de Álava	2.511 m2
Fanega de Albacete	7.006 m2
Tabulla de Murcia	1.118 m2
Día de bueyes de Oviedo	1.258 m2
Jornal de Lleida	4.358 m2
Aranzada de Cordoba	3.673 m2

Puesto que ya conocemos la unidad de medida que tenemos que utilizar, a continuación veremos cómo se mide la superficie de un polígono. Éstos se dividen en:

• Regulares: aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales.
• Irregulares: aquellos que tienen al menos un lado o ángulo desigual.

Área del paralelogramo

El paralelogramo es un tipo de polígono de cuatro lados o cuadrilátero, que se caracteriza porque sus lados son paralelos dos a dos. Dentro de este grupo de polígonos se incluyen el rectángulo, el cuadrado, el rombo y el romboide. 

Área del rectángulo
Para calcular el área de un rectángulo multiplicamos su base por su altura.
A = o · h

Área del cuadrado
Como un cuadrado es un polígono regular que tiene todos sus lados iguales, la longitud de su altura y su base coinciden. Para hallar el área del cuadrado, entonces, se multiplica el lado por sí mismo.
A = l · l = l2


Área del romboide y rombo
El área de un romboide se obtiene multiplicando su base por su altura.
A = o · h

Área del triángulo

 

El triángulo es un polígono de tres lados, y, por tanto, es el polígono más elemental. El área de un triángulo se obtiene al dividir entre dos el producto de su base por su altura.



En el caso particular de un triángulo rectángulo, el área es igual al producto de los catetos dividido entre dos. Un cateto es cada uno de los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto. La hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto. Es el mayor de los tres lados de este triángulo.
Según el teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto nos sirve para calcular la medida desconocida de cualquier lado de un triángulo rectángulo, conocidos los dos.
h2 = k2 + k2

Área del trapecio y del trapezoide

 

Un trapecio es un polígono de cuatro lados en el que dos de sus lados son paralelos. Un trapezoide es un polígono en el que ninguno de sus lados es paralelo, como por ejemplo, la clásica cometa.

El trapecio

El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de la suma de sus bases por su altura.
O = base mayor
o = base menor
h = altura

El trapezoide

El trapezoide, cuadrilátero cuyos lados no son ni iguales ni paralelos, se descompone en tres polígonos: dos triángulos y un trapecio. Así, su área será igual a la suma de las áreas de los dos triángulos más el área del trapecio.

Área de los polígonos regulares de más de cuatro lados

 

 

En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de sus vértices, se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono.

El área de un polígono regular de más de cuatro lados será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de lados.
El área de cada triángulo es el producto del lado del polígono por la apotema, partido por dos. La apotema es la distancia entre el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados.
a = apotema
Si el polígono tiene n lados, se forman n triángulos. Entonces,
Por tanto, el área de un polígono regular de más de cuatro lados será igual al área de cada triángulo formado multiplicada por el número de lados (que coincide con el número de triángulos formados en el interior del polígono):
p = perímetro
a = apotema

Área de los polígonos irregulares

 

• Para hallar el área de los polígonos irregulares los descomponemos en figuras equivalentes con áreas conocidas o fáciles de determinar.

• Cualquier polígono, regular o irregular, puede descomponerse en triángulos. Es lo que se llama triangulación. El número de triángulos resultante siempre es dos veces menor que el número de lados del polígono.
• Por lo general, los polígonos irregulares de más de cuatro lados se descomponen en triángulos y su área es el resultado de la suma de las áreas de todos sus triángulos.
• Pero los polígonos irregulares se pueden descomponer en otros polígonos diferentes, sin necesidad de que todos sean triángulos.

Área del círculo

 

Un círculo es la parte de plano delimitada por una circunferencia. Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto llamado centro.
El área de un círculo es igual al número P (pi) por el cuadrado del radio, siendo el radio un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
A = P · r2
El numero P es una noción fundamental en geometría. P es la decimosexta letra del alfabeto griego, que se utiliza como un número real en aritmética. Indica la relación entre la longitud de una circunferencia y su radio.
Es un número decimal ilimitado no periódico. Esto quiere decir que sus decimales no acaban nunca. La búsqueda de estos decimales ha apasionado a los matemáticos a lo largo de toda la historia. El primero en intentarlo fue el griego Arquímedes, quien halló los cuatro primeros.
Actualmente, a través de sencillos algoritmos y con la ayuda de potentes ordenadores, se conocen más de 6.000 millones de decimales. Aunque aquí no nos cabrían todos, veamos unos pocos:
P = 3.141592653589793238...